La expresión bajo la raíz de la fórmula cuadrática, b² − 4ac, se llama discriminante y responde las preguntas que normalmente se resuelven despejando toda la ecuación. Su signo da el número de raíces reales: positivo son dos, cero es una doble, negativo es ninguna. Que sea o no un cuadrado perfecto dice después si esas raíces son racionales, que es lo mismo que preguntar si la ecuación factoriza sobre los enteros.
Cuesta dos multiplicaciones y una resta, y convierte una resolución en una comprobación. Para cualquier cosa que se repita —validar entradas, decidir si una recta corta una circunferencia, comprobar si un objetivo es alcanzable— esa es la diferencia entre un cálculo y una condición.
¿Qué dice el signo?
Cuántas veces cruza la parábola el eje horizontal, que es la formulación geométrica del mismo hecho.
| Discriminante | Raíces reales | La curva |
|---|---|---|
| Positivo | Dos distintas | Cruza el eje dos veces |
| Cero | Una doble | Toca el eje en el vértice |
| Negativo | Ninguna | No llega a tocar el eje |
Un discriminante negativo no significa que no haya respuesta, sino que no hay respuesta real. Las dos raíces son complejas conjugadas, y en ingeniería ese suele ser el resultado informativo: una oscilación que no se amortigua hasta cruzar, o una trayectoria que nunca alcanza la altura por la que se pregunta.
¿Qué dice un cuadrado perfecto?
Que las raíces son racionales y por tanto que la ecuación factoriza sin radicales. La raíz de un cuadrado perfecto es un entero, así que la fórmula produce una fracción en lugar de un número irracional.
Toma x² − 5x + 6. El discriminante es 25 − 24 = 1, un cuadrado perfecto, así que las raíces son racionales, y son 2 y 3, que es la factorización. Cambia la constante a 7 y el discriminante es 25 − 28 = −3, negativo: ni raíces reales ni factorización sobre los reales.
Esta es la comprobación que conviene hacer antes de intentar factorizar a ojo. Buscar pares enteros que multipliquen a c y sumen b es una técnica buena cuando ese par existe, y un minuto perdido cuando el discriminante ya ha dicho que no.
¿Por qué pierde precisión la fórmula?
Por una cancelación que ocurre cuando b² es mucho mayor que 4ac. La raíz del discriminante queda entonces muy cerca del valor absoluto de b, y una de las dos raíces se calcula restando dos números casi iguales, lo que destruye cifras significativas.
El daño es real y no teórico. Resuelve x² + 10⁸x + 1 = 0 en doble precisión corriente y la raíz pequeña sale muy mal, o exactamente cero, porque la resta ha cancelado todos los dígitos que llevaban la respuesta.
El remedio es calcular con la fórmula la raíz bien condicionada y obtener la otra del hecho de que ambas multiplican a c/a. Tomar la raíz cuyo signo coincide con b y luego dividir evita la resta por completo, y es lo que hace una biblioteca cuidadosa.
¿Cuál es la geometría de debajo?
Completar el cuadrado, de donde sale la fórmula. Cualquier cuadrática se escribe como a por un paréntesis al cuadrado más un resto, y esa forma sitúa el vértice en −b/2a con el discriminante gobernando a qué distancia queda la curva del eje.
El vértice es lo otro que se lee sin resolver. Su posición da el eje de simetría, así que las dos raíces están a la misma distancia de él: conocida una raíz y el vértice, la otra sale por reflexión y sin aritmética.
El signo de a decide hacia dónde abre la parábola, y junto al discriminante determina si la expresión llega a ser negativa. Una a positiva con discriminante negativo es una cuadrática positiva en todas partes, que es justo la condición que comprueba una rutina de optimización.
¿Dónde aparece esto fuera de clase?
En todo lo que lleve un término al cuadrado, es decir en casi todo lo que implique distancia, área o aceleración. Un tiro bajo gravedad constante es cuadrático en el tiempo, así que preguntar si una trayectoria alcanza cierta altura es preguntar por el signo de un discriminante.
Las pruebas de intersección en gráficos y en detección de colisiones son la misma pregunta. Sustituir una recta en una circunferencia o una esfera da una cuadrática, y el discriminante decide si el rayo impacta, por lo que un motor de render lo calcula y solo busca el punto cuando el signo dice que existe.
El análisis del punto de equilibrio también cae aquí siempre que ingresos y costes no sean ambos lineales. Un modelo cuadrático de beneficio tiene dos puntos de equilibrio, uno o ninguno, y cuál de los tres determina si el plan funciona a algún volumen.
Preguntas que hace la gente
¿Existe el discriminante de una cúbica? Existe para grados superiores y lleva la misma clase de información sobre raíces repetidas, pero es bastante más complicado y las reglas de signo no se trasladan.
¿Por qué b² − 4ac y no algo más simple? Sale de completar el cuadrado. El 4ac aparece porque dividir b entre dos y elevar al cuadrado introduce un factor cuatro que luego se despeja.
¿Puede ser cero en la práctica? Exactamente cero, rara vez, cuando los coeficientes vienen de mediciones. El caso útil es un discriminante casi nulo, porque señala dos raíces tan próximas que su diferencia probablemente sea ruido.
¿Funciona si a es cero? No, y conviene comprobarlo primero. Con a igual a cero la ecuación es lineal, la fórmula divide entre cero, y un solucionador que no proteja el caso falla con la entrada más sencilla que va a recibir.
Tres multiplicaciones dicen la forma de la respuesta antes de comprometerse a buscarla. El solucionador de ecuaciones cuadráticas muestra el discriminante junto a las raíces, y la calculadora de porcentajes es la herramienta rápida cuando el modelo resulta ser lineal.