क्षेत्रफल कैलकुलेटर

जो चीज़ लोगों को चौंकाती है वह है दीर्घवृत्त का परिमाप, जिसका कोई सटीक बंद रूप है ही नहीं: उसके लिए दीर्घवृत्तीय समाकल चाहिए। रामानुजन ने 1914 में एक सन्निकटन प्रकाशित किया जो अत्यंत चपटे दीर्घवृत्तों को छोड़कर एक करोड़ में एक हिस्से से भी बेहतर सटीक है, और यहाँ वही इस्तेमाल होता है। यह अच्छी याद दिलाता है कि «सरल आकृति» और «सरल सूत्र» दो अलग दावे हैं: दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल मामूली है और उसका परिमाप सचमुच कठिन।

वृत्त वही नाप लेता है जो आपके पास है

वृत्त वह आकृति है जिसे सबसे ज़्यादा बार ग़लत सिरे से पकड़ा जाता है, इसलिए यह टैब उसकी चारों नापों में से कोई भी इनपुट के रूप में लेता है। पाइप या पेड़ के चारों ओर लपेटा टेप आपको परिधि देता है; उसे 2π से भाग देने पर त्रिज्या मिलती है, और बाक़ी सब उसी से। 31.42 की परिधि 5 की त्रिज्या, 10 का व्यास और 78.54 का क्षेत्रफल बनकर लौटती है।

त्रिज्या दोगुनी करने पर परिधि दोगुनी होती है और क्षेत्रफल चौगुना, क्योंकि एक r में रैखिक है और दूसरा r² के साथ चलता है। यही एक तथ्य समझा देता है कि 16 इंच का पिज़्ज़ा 12 इंच वाले से 1.78 गुना क्यों होता है, चौड़ा पाइप अनुपात से कहीं ज़्यादा पानी क्यों ले जाता है, और दूरबीन का व्यास दोगुना करने पर चार गुना प्रकाश क्यों इकट्ठा होता है। इसी से यह भी पता चलता है कि गोल चीज़ों की तुलना सिर्फ़ व्यास से करने पर फ़र्क़ हमेशा कम आँका जाता है।

इकाइयाँ, और उनसे होने वाली ग़लती

दोनों तरह के नतीजे एक ही इकाई में नहीं होते। क्षेत्रफल डाली गई इकाई के वर्ग में आता है; परिधि, त्रिज्या और व्यास उसी इकाई में। इन्हें मिला देना इस पेज की सबसे आम गणितीय ग़लती है, और वह थोड़े-से अंतर के बजाय पूरी इकाई के गुणक जितनी ग़लत निकलती है। π के बारे में भी एक बात: 22/7 क़रीब तीन दशमलव तक ठीक है — 3.1429 बनाम 3.14159 — जो दिमाग़ी हिसाब के लिए ठीक है और नाप के हिसाब से कुछ काटने के लिए नहीं।

जिस आकृति को इनमें से कोई टैब नहीं ढँकता, उसे इन्हीं में बाँट लीजिए। बे-विंडो वाला कमरा एक आयत और एक वृत्त-खंड है; पतला होता क्यारी का हिस्सा समलंब है। हर टुकड़े का क्षेत्रफल निकालकर जोड़ लीजिए — सर्वेक्षक हाथ से यही करता है।