गोल की गई संख्याएँ जुड़ती नहीं हैं

सही ढंग से गोल की गई संख्याओं का स्तंभ अक्सर गोल किए गए कुल तक नहीं पहुँचता। छह प्रतिशत जो हर एक निकटतम पूर्णांक पर जाते हैं, मिलकर 99 या 101 बन सकते हैं, और न हिस्से ग़लत हैं न कुल: गोल करना जोड़-सुसंगत नहीं है, इसलिए जोड़ने से पहले गोल करना और जोड़ने के बाद गोल करना अलग क्रियाएँ हैं जिनके उत्तर अलग हैं। सवाल बस इतना है कि आपका मतलब कौन-सी थी।

यह फ़्लोटिंग पॉइंट की समस्या नहीं है और अधिक दशमलव से जाती भी नहीं। यह गणित है, पर्याप्त लंबी हर तालिका में निश्चित रूप से आती है, और समाधान यह तय करना है कि बचा हुआ हिस्सा कहाँ जाएगा।

स्तंभ कुल से क्यों नहीं मिलता?

क्योंकि हर पंक्ति अलग-अलग खिसकती है और ये खिसकाव आपस में नहीं कटते। किसी मान को ऊपर गोल करना किसी से उधार नहीं लेता और नीचे गोल करना किसी को देता नहीं, इसलिए त्रुटियों का जोड़ जो निकले वही है।

वहाँ हर पंक्ति ठीक गोल हुई है और स्तंभ दो से चूक रहा है। छह मान जिनमें से हर एक लगभग एक तिहाई अंक कमाता है, वह कटने वाली त्रुटि नहीं बल्कि जमा होने वाली त्रुटि है, और लंबी तालिका और दूर चली जाती है।

सबसे बड़े शेष की विधि क्या है?

गोल किए गए हिस्सों को उनके कुल तक पहुँचाने का मानक तरीक़ा। पहले सब कुछ नीचे गोल कीजिए, गिनिए कि कितनी इकाइयाँ बची हैं, और उन्हें सबसे बड़े दशमलव भाग वाली पंक्तियों में बाँटिए जब तक कुल न मिल जाए।

ऊपर की तालिका पर लगाएँ तो हर पंक्ति 16 पर आ जाती है और 100 के लक्ष्य के लिए चार इकाइयाँ बचती हैं। वे सबसे बड़े शेष वाली पंक्तियों में जाती हैं: पहले F, 0.8 के साथ, फिर D और E, 0.7 के साथ, और अंत में 0.6 वाली तीन पंक्तियों में से एक। पाँच पंक्तियाँ 17 पढ़ती हैं, एक 16, और स्तंभ 100 पर आता है।

यही विधि वोटों को सीटों में बदलने में काम आती है, जहाँ इसके दूसरे नाम हैं। मायने यह रखता है कि यह एक नियम है: हर बार वही उत्तर देती है, और पूछने वाले को समझाया जा सकता है कि एक पंक्ति पड़ोसियों से एक इकाई हल्की क्यों है।

इसकी क़ीमत कहाँ चुकानी पड़ती है?

वहाँ जहाँ कुल एक वचन है, सारांश नहीं। 100 का बिल तीन में बाँटने पर हर हिस्सा 33.33 आता है और एक पैसा खो जाता है; ऑर्डर की पंक्तियों पर छूट बाँटने पर वह वास्तव में दी गई छूट से मिलनी चाहिए; साझा लागत विभागों में बाँटने पर जोड़ खर्च के बराबर होना चाहिए।

कर सबसे सख़्त मामला है, क्योंकि पंक्ति की रक़में और कुल, दोनों घोषित आँकड़े हैं जिन्हें कोई जाँच सकता है। कर को हर पंक्ति पर निकालकर जोड़ना और एक बार कुल पर निकालना, दोनों के उत्तर अलग होते हैं, और इसीलिए नियम इनमें से एक को तय करते हैं।

वेतन-गणना का आकार भी यही है, बस समय में फैला हुआ। महीने की कटौती बारह बार पैसे तक गोल करने पर सालाना आँकड़े से नहीं मिलती जिसे एक बार गोल किया गया हो, इसलिए तंत्र को तय करना पड़ता है कि वह किसका बचाव करेगा।

क्या कुल को अलग से गोल कर देना काफ़ी है?

उससे कुल ठीक हो जाता है और कुल तथा पंक्तियों का रिश्ता टूट जाता है, जो आमतौर पर बुरा सौदा है। जो पाठक स्तंभ जोड़कर दूसरी संख्या पाता है वह ग़लती मान लेगा, और बीजक पर उसका मानना सही है।

जो चलता है वह यह है कि एक पंक्ति तय कर दी जाए, किसी नियम से चुनी हुई, जो बचत उठाए ताकि हिस्से और कुल मिलते रहें। सबसे बड़े शेष की विधि ऐसा ही एक नियम है, और एक तय चुनाव — सबसे बड़ी पंक्ति, या आख़िरी — दूसरा, बशर्ते उसे लगातार लागू किया जाए।

जो नहीं चलता वह है रास्ते में दो बार गोल करना, जो समस्या सुलझाने के बजाय बढ़ाता है। अंतिम प्रस्तुति तक पूरी सटीकता साथ ले चलिए।

पाठक को क्या दिखना चाहिए?

कि कोई समायोजन हुआ है, जहाँ वह मायने रखता हो। यह बताने वाली पाद-टिप्पणी कि गोल करने के कारण आँकड़े पूरी तरह न जुड़ें, माफ़ी नहीं है: वह ईमानदार कथन है कि तालिका गोल किए मान दिखा रही है और असली संख्या कुल है।

प्रतिशत पर ख़ास ध्यान चाहिए क्योंकि पाठक उन्हें जोड़ ही लेता है। पूर्णांकों में दिखाए गए हिस्सों से 100 तक पहुँचने की उम्मीद होती है, और बिना व्याख्या 101 आने पर तालिका वह भरोसा खो देती है जो खोने की ज़रूरत नहीं थी।

लोग जो पूछते हैं

क्या बैंकर्स राउंडिंग इसे सुलझा देती है? वह बराबरी के मामलों से ऊपर की ओर का व्यवस्थित झुकाव हटाती है, जो बहुत सारे मानों पर मदद करता है, पर हिस्सों को उनके कुल तक पहुँचने पर मजबूर नहीं करती। ये दो अलग समस्याएँ हैं।

क्या जोड़ने से पहले गोल करना चाहिए? गणित के लिए नहीं। बिना गोल किए मान साथ ले जाइए, जोड़िए, और सिर्फ़ वही गोल कीजिए जो दिखाया जाए, जब तक कोई नियम हर चरण पर गोल करने को न कहे।

और अधिक दशमलव से? वे अंतर छोटा करते हैं, मिटाते कभी नहीं। दो दशमलव वाला स्तंभ भी दो दशमलव वाले कुल तक नहीं पहुँचता, बस कम से चूकता है, जिसे पकड़ना और कठिन है।

क्या सबसे बड़ा शेष न्यायसंगत है? वह निश्चित और समझाने योग्य है, और व्यवहार में यही माँगा जाता है। हर बँटवारा-नियम का कोई न कोई परिदृश्य अन्यायपूर्ण दिखता है।

गोल करना प्रस्तुति का निर्णय है और उसकी जगह अंत में है। राउंडिंग कैलकुलेटर दिखाता है कि हर नियम किसी मान के साथ क्या करता है, और प्रतिशत कैलकुलेटर वे सटीक हिस्से देता है जिनसे कुछ भी गोल करने से पहले बँटवारा शुरू हो।