विविक्तकर हल करने से पहले ही बता देता है

द्विघात सूत्र में वर्गमूल के नीचे वाला व्यंजक, b² − 4ac, विविक्तकर कहलाता है, और वह उन्हीं सवालों का जवाब देता है जिनके लिए लोग आमतौर पर पूरा समीकरण हल करते हैं। उसका चिह्न वास्तविक मूलों की संख्या देता है: धनात्मक यानी दो, शून्य यानी एक दोहरा, ऋणात्मक यानी कोई नहीं। वह पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह आगे बताता है कि वे मूल परिमेय हैं या नहीं, जो यही पूछना है कि समीकरण पूर्णांकों पर गुणनखंडित होता है या नहीं।

इसमें दो गुणा और एक घटाव लगते हैं, और यह हल को जाँच में बदल देता है। जो काम बार-बार होता हो — इनपुट जाँचना, यह तय करना कि कोई रेखा वृत्त से मिलती है या नहीं, यह परखना कि कोई लक्ष्य पहुँच में है या नहीं — वहाँ यही गणना और शर्त के बीच का फ़र्क़ है।

चिह्न क्या बताता है?

कि परवलय क्षैतिज अक्ष को कितनी बार काटता है, जो उसी बात का ज्यामितीय कथन है।

ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ यह नहीं कि उत्तर नहीं है; अर्थ यह है कि वास्तविक उत्तर नहीं है। दोनों मूल सम्मिश्र संयुग्मी होते हैं, और अभियांत्रिकी में अक्सर यही सूचनाप्रद परिणाम होता है: ऐसा दोलन जो कटान तक शांत नहीं होता, या ऐसा पथ जो पूछी गई ऊँचाई तक कभी नहीं पहुँचता।

पूर्ण वर्ग होना क्या बताता है?

कि मूल परिमेय हैं और इसलिए समीकरण करणी के बिना गुणनखंडित होता है। पूर्ण वर्ग का मूल पूर्णांक होता है, इसलिए सूत्र अपरिमेय संख्या के बजाय भिन्न देता है।

x² − 5x + 6 लीजिए। विविक्तकर 25 − 24 = 1 है, जो पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय हैं — और वे 2 और 3 हैं, यानी वही गुणनखंडन। अचर को 7 कर दीजिए और विविक्तकर 25 − 28 = −3 हो जाता है, ऋणात्मक: न वास्तविक मूल, न वास्तविक संख्याओं पर गुणनखंडन।

देखकर गुणनखंड करने की कोशिश से पहले यही जाँच करने लायक़ है। ऐसे पूर्णांक-युग्म ढूँढ़ना जो गुणा करके c और जोड़कर b दें, तब अच्छी तकनीक है जब ऐसा युग्म हो, और बर्बाद मिनट तब जब विविक्तकर पहले ही कह चुका हो कि नहीं है।

सूत्र कभी-कभी परिशुद्धता क्यों खो देता है?

एक कटाव के कारण, जो तब होता है जब b² 4ac से बहुत बड़ा हो। तब विविक्तकर का मूल b के निरपेक्ष मान के बहुत पास होता है, और दोनों में से एक मूल लगभग बराबर दो संख्याओं को घटाकर निकाला जाता है, जो सार्थक अंकों को नष्ट कर देता है।

नुक़सान असली है, सैद्धांतिक नहीं। x² + 10⁸x + 1 = 0 को साधारण द्वि-परिशुद्धता में हल कीजिए और छोटा मूल बहुत ग़लत निकलता है, या ठीक शून्य, क्योंकि घटाव ने वे सारे अंक काट दिए जो उत्तर ढो रहे थे।

उपाय यह है कि सुगठित मूल सूत्र से निकालें और दूसरा इस तथ्य से लें कि दोनों मूलों का गुणनफल c/a है। जिस मूल का चिह्न b से मेल खाता हो उसे लेकर फिर भाग देना घटाव से पूरी तरह बचा लेता है, और सावधान पुस्तकालय यही करते हैं।

नीचे की ज्यामिति क्या है?

वर्ग पूरा करना, जहाँ से सूत्र आता है। हर द्विघात को a गुणा एक वर्गित कोष्ठक जोड़ शेष के रूप में लिखा जा सकता है, और वह रूप शीर्ष को −b/2a पर रखता है, जहाँ विविक्तकर तय करता है कि वक्र अक्ष से कितनी दूर बैठेगा।

शीर्ष दूसरी चीज़ है जो बिना हल किए पढ़ी जा सकती है। उसकी जगह सममिति-अक्ष देती है, यानी दोनों मूल उससे बराबर दूरी पर हैं — एक मूल और शीर्ष मालूम हों तो दूसरा परावर्तन से निकल आता है, बिना किसी गणना के।

a का चिह्न तय करता है कि परवलय किस ओर खुलेगा, और विविक्तकर के साथ मिलकर यह भी कि व्यंजक कभी ऋणात्मक होता है या नहीं। धनात्मक a के साथ ऋणात्मक विविक्तकर वह द्विघात है जो हर जगह धनात्मक है, और यही वह शर्त है जिसे अनुकूलन-नेमका जाँचती है।

कक्षा के बाहर यह कहाँ मिलता है?

हर उस चीज़ में जिसमें वर्ग वाला पद हो, यानी दूरी, क्षेत्रफल या त्वरण से जुड़ी लगभग हर चीज़ में। स्थिर गुरुत्व के नीचे प्रक्षेप्य गति समय में द्विघात है, इसलिए यह पूछना कि पथ किसी ऊँचाई तक पहुँचता है या नहीं, विविक्तकर के चिह्न के बारे में पूछना है।

ग्राफ़िक्स और टक्कर-पहचान में कटान की जाँच वही सवाल है। किसी रेखा को वृत्त या गोले में रखने पर द्विघात मिलता है, और विविक्तकर तय करता है कि किरण टकराती है या नहीं — इसीलिए रेंडरर पहले उसे निकालता है और कटान-बिंदु तभी खोजता है जब चिह्न कहे कि वह मौजूद है।

लाभ-हानि संतुलन का विश्लेषण भी यहीं आता है, जहाँ आय और लागत दोनों रैखिक न हों। द्विघात लाभ-मॉडल में दो संतुलन-बिंदु होते हैं, एक, या कोई नहीं, और इनमें से कौन-सा है यह तय करता है कि योजना किसी भी मात्रा पर चलेगी या नहीं।

लोग जो पूछते हैं

क्या घन समीकरण का भी विविक्तकर होता है? ऊँची घातों के लिए होता है और दोहरे मूलों के बारे में वैसी ही जानकारी रखता है, पर वह कहीं अधिक जटिल है और चिह्न के नियम वैसे के वैसे नहीं चलते।

b² − 4ac ही क्यों, कुछ सरल क्यों नहीं? यह वर्ग पूरा करने से निकलता है। 4ac इसलिए आता है कि b को आधा करके वर्ग करने पर चार का गुणक आ जाता है, जिसे बाद में हटाया जाता है।

क्या यह व्यवहार में शून्य हो सकता है? ठीक शून्य कम ही, जब गुणांक मापों से आते हों। उपयोगी मामला लगभग शून्य विविक्तकर है, क्योंकि वह ऐसे दो मूलों का संकेत देता है जो इतने पास हैं कि उनका अंतर शायद शोर ही है।

क्या a शून्य होने पर चलता है? नहीं, और सबसे पहले यही जाँचना चाहिए। a शून्य हो तो समीकरण रैखिक है, सूत्र शून्य से भाग देता है, और जो हल-कर्ता इस मामले को नहीं सँभालता वह अपने सबसे आसान इनपुट पर ही विफल हो जाता है।

तीन गुणा उत्तर का आकार बता देते हैं, उसे खोजने का वादा करने से पहले। द्विघात समीकरण हल-कर्ता मूलों के साथ विविक्तकर भी दिखाता है, और प्रतिशत कैलकुलेटर तब तेज़ औज़ार है जब मॉडल आख़िर में रैखिक निकले।